第35回助教の会

　今回の助教の会は数理１研の本多が「polar符号および非対称通信路の符号化について」ということで情報理論の最近の結果に関する発表をしました．polar符号は2008年に提案された比較的新しい符号で，符号長に対して多項式時間で指数関数的に小さい復号誤り確率が達成できること示された初めての符号になります．
　情報理論で扱う多くの符号が符号理論特有の手法により解析を行うのに対して，polar符号では分極現象という確率過程に関する基本的な結果から導かれる現象を用いた説明がなされ，情報理論にあまりなじみがない人にはおそらく最も分かりやすい符号になっています．もう少し具体的には，「確率変数のコピーを用意してそれらを可逆な演算により対称性を崩す」という操作を再帰的に繰り返すことにより，値が一意に定まる確率変数と完全にランダムな確率変数に分離することができることから，後者の確率変数のみにより元の確率変数全体をほぼ一意に表現できる（→無歪み圧縮ができる）ほか，前者の確率変数を用いることで情報を誤りなしで伝送することができる，というものです．
　また，初めに提案されたpolar符号は通信路が対称，つまり0が1に反転する確率と1が0に反転する確率が等しい場合のためのものでしたが，これをpolar符号による無歪み圧縮とpolar符号による通信路符号化を組み合わせることにより非対称な通信路に対しても理論限界を達成することができます．
　後半では，非対称の通信路に対してより良い性能を達成する符号の構成についても説明しましたが，こちらは未発表の内容を含むためここでは割愛させて頂きます．

数理第一研究室　本多淳也

第３４回助教の会

第３４回助教の会では，数理６研の森野が「動的な素子から成るネットワークの頑強性」というタイトルで発表しました． 今回の発表内容は生物学的なネットワークの頑強性を数理的アプローチにより理解しようというものです． その為に， 神経細胞の数理モデルである Morris-Lecar モデルを C. elegans という線虫の神経細胞ネットワーク構造に従って結合させた系に関する解析を行いました．

　神経細胞の数理モデルでは神経細胞の膜電位に相当する変数があります． 神経細胞では膜電位の値が急激に大きくなった後，また小さくなる現象が知られており，発火と呼ばれています． Morris-Lecar モデルは様々なパラメータを持ちますが， これらのパラメータを変化させることで単体の数理モデルが周期的に発火する状態（周期性素子）と， 一度発火すると外部刺激がなければ再び発火することはない状態（興奮性素子）の両方を表現することができます．

　具体的な解析手順ですが，まず全てのMorris-Lecar モデル（素子）が周期性素子であるとし，それらが C. elegans の神経細胞ネットワーク状に結合している場合を考えます． そして，素子を一つずつ興奮性素子に置き換えていったときに，どれだけの割合の素子を置き換えるとネットワーク全体の平均発火率が大きく減少するかについて， ギャップジャンクションとシナプス結合の有無やその結合強度を変化させた条件の下，置き換える素子の順番なども変化させながら解析しました． その結果，平均発火率が大きく減少する割合は置き換えの手順に依存し，パラメータの値によっても大きく異なることがわかりました．

　本研究の詳細は， 動的頑強性のレビューと共に"Mathematical Approaches to Biological Systems Networks, Oscillations, and Collective Motions" (Springer, 2015) の第二章 (G. Tanaka, K. Morino, and K. Aihara, "Dynamical Robustness of Complex Biological Networks") にて詳しく述べられています (書籍へのリンク)．

数理情報第六研究室　森野佳生